# 为了学好Rust也是拼了系列-数学库-圆弧 ## 定义 圆弧是指圆周上的一段弧线，即由圆的边界上的两个点确定的曲线部分。在数学中，我们用一些概念来描述和度量圆弧，主要包括弧长和弧度。 1. **弧长（Arc Length）：** 弧长是指沿着圆周测量的实际长度。如果我们知道圆的半径（$$r$$）和圆弧的中心角（$$\theta$$，用弧度表示），可以通过以下公式计算弧长（$$s$$）： $$ s = r \cdot \theta $$ 弧长等于半径与中心角的乘积。这个公式表达了圆弧长度与半径和角度之间的关系。 2. **弧度（Radian）：** 弧度是一种角度的度量单位，定义为半径长的弧所对应的角度。一个完整的圆弧对应的角度是 $$2\pi$$ 弧度，其中 $$\pi$$ 是圆周率，约为3.14159。如果一个圆弧的中心角为 $$\theta$$ 弧度，那么这个角所对应的弧长就是 $$r \cdot \theta$$。 使用弧度的优势在于它与圆的半径直接相关，便于利用三角函数等工具进行更复杂的数学运算。 3. **角度的起始方向：** 角度通常是从坐标轴的正方向开始测量的，按照逆时针方向为正。在标准的坐标系中，x 轴指向右侧，y 轴指向上方。因此，初始角度为零度，即在 x 轴正方向上。逆时针旋转角度被定义为正的，而顺时针旋转角度被定义为负的。 **程序定义如下** ``` #[derive(Debug, PartialEq)] struct Arc { radius: f64, theta: f64, // 中心角，以弧度表示 } ``` ## 求解圆弧 ### 以弧长和半径求圆弧 在数学上，已知圆弧的弧长 $$s$$ 和半径 $$r$$，可以通过解方程 $$s = r \cdot \theta$$ 来求解圆弧的中心角 $$\theta$$。 计算圆弧中心角的步骤如下： 1. **建立方程：** 根据圆弧的性质，弧长 $$s$$ 和半径 $$r$$ 满足关系式 $$s = r \cdot \theta$$。 2. **设定初始猜测值：** 选择一个初始猜测值 $$\theta_0$$。通常可以选择 $$\theta_0 = \frac{s}{r}$$。 3. **迭代过程：** 使用牛顿迭代公式进行迭代，直到收敛到方程的解： $$ \theta_{n+1} = \theta_n - \frac{f(\theta_n)}{f'(\theta_n)} $$ 其中，$$f(\theta) = r \cdot \theta - s$$ 是方程左侧的函数，$$f'(\theta)$$ 是其导数。 4. **迭代终止条件：** 迭代过程终止的条件通常是当 $$\theta_{n+1}$$ 与 $$\theta_n$$ 之间的差异小于设定的精度要求时，即 $$\left|\theta_{n+1} - \theta_n\right| < \epsilon$$，其中 $$\epsilon$$ 是预设的精度。 5. **得到解：** 当迭代终止时，得到的 $$\theta$$ 值即为圆弧的中心角。 **程序解如下** ``` pub fn from_arc_length_and_radius(arc_length: f64, radius: f64) -> Arc { // 初始猜测中心角的值 let mut theta_guess = arc_length / radius; // 牛顿迭代法求解方程 s = r * theta let epsilon = 1e-10; // 精度要求 let mut theta_prev; loop { theta_prev = theta_guess; let f_theta = radius * theta_prev - arc_length; let f_prime_theta = radius; // 导数 f'(θ) = r theta_guess = theta_prev - f_theta / f_prime_theta; if (theta_guess - theta_prev).abs() < epsilon { break; } } Arc { radius, theta: theta_guess, } } ``` ### 已知弦长和半径求圆弧 在数学上，如果已知一个圆弧的弦长 $$l$$ 和半径 $$r$$，我们可以通过以下步骤计算该圆弧的中心角： 1. **弦长和半径的关系：** 弦长 $$l$$ 和半径 $$r$$ 之间的关系由以下三角函数关系给出： $$ l = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) $$ 2. **计算中心角：** 通过解方程得到中心角 $$\theta$$ 的表达式： $$ \theta = 2 \arcsin\left(\frac{l}{2r}\right) $$ 将给定的弦长 $$l$$ 和半径 $$r$$ 代入该表达式，计算得到中心角 $$\theta$$ 的值。 **程序解如下** ``` /// 已知弦长和半径求圆弧 pub fn from_chord_length_and_radius(chord_length: f64, radius: f64) -> Arc { // 计算中心角的值 let theta = 2.0 * f64::asin(chord_length / (2.0 * radius)); Arc { radius, theta, } } ``` ### 已知圆弧的两个端点坐标求圆弧 已知圆弧的两个端点坐标 $$(x_1, y_1)$$ 和 $$(x_2, y_2)$$，我们可以通过以下步骤求解圆弧的中心角： 1. **计算半径：** 使用两个端点的坐标计算圆心到端点的距离，即半径 $$r$$。 $$ r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ 2. **计算中心坐标：** 圆心的坐标可以通过两个端点的中点得到，即 $$(x_c, y_c) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$。 3. **计算中心角：** 中心角 $$\theta$$ 可以通过两个向量的夹角计算。设向量 $$\vec{v}_1$$ 和 $$\vec{v}_2$$ 分别为圆心指向两个端点的向量，使用向量的点乘和反余弦函数计算夹角。 $$ \cos(\theta) = \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{\|\vec{v}_1\| \|\vec{v}_2\|} $$ $$ \theta = \arccos\left(\frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{\|\vec{v}_1\| \|\vec{v}_2\|}\right) $$ **程序解如下** ``` /// 已知圆弧的两个端点坐标求圆弧 pub fn from_endpoints(x1: f64, y1: f64, x2: f64, y2: f64) -> Arc { // 计算半径 let radius = ((x2 - x1).powi(2) + (y2 - y1).powi(2)).sqrt(); // 计算圆心坐标 let center_x = (x1 + x2) / 2.0; let center_y = (y1 + y2) / 2.0; // 计算中心角 let v1_x = x1 - center_x; let v1_y = y1 - center_y; let v2_x = x2 - center_x; let v2_y = y2 - center_y; let dot_product = v1_x * v2_x + v1_y * v2_y; let magnitude_product = (v1_x.powi(2) + v1_y.powi(2)).sqrt() * (v2_x.powi(2) + v2_y.powi(2)).sqrt(); let cos_theta = dot_product / magnitude_product; let theta = cos_theta.acos(); Arc { radius, theta } } ``` ### 已知圆弧的面积和半径求圆弧 已知圆弧的面积 $$A$$ 和半径 $$r$$，我们可以通过以下步骤计算圆弧的中心角： 1. **计算弧长：** 弧长 $$s$$ 与圆弧的面积 $$A$$ 之间有以下关系： $$ s = r \cdot \theta $$ 弧长与半径和中心角之间的关系可以通过弧长的定义推导而来。 2. **计算中心角：** 中心角 $$\theta$$ 与弧长 $$s$$ 之间的关系为： $$ \theta = \frac{s}{r} $$ 将计算得到的弧长 $$s$$ 和给定的半径 $$r$$ 代入上述公式，即可计算中心角 $$\theta$$ 的值。 **程序解如下** ``` /// 已知圆弧的面积和半径求圆弧 pub fn from_area_and_radius(area: f64, radius: f64) -> Arc { // 计算弧长 let arc_length = (area * 2.0 / radius).sqrt(); // 计算中心角 let theta = arc_length / radius; Arc { radius, theta } } ``` ## 圆弧上的点 要均匀返回圆弧上指定数量的点，可以利用参数方程来实现。假设我们要在圆弧上均匀生成 $$n$$ 个点，可以使用如下的参数方程： $$ x_i = x_c + r \cos\left(\frac{2\pi i}{n}\right) $$ $$ y_i = y_c + r \sin\left(\frac{2\pi i}{n}\right) $$ 其中： - $$(x_c, y_c)$$ 是圆心坐标。 - $$r$$ 是半径。 - $$i$$ 是点的索引，取值范围为 $$0 \leq i < n$$。 这个方程保证了 $$n$$ 个点在圆弧上均匀分布，覆盖整个圆弧。在计算中心角时使用了 $$2\pi$$ 是为了确保角度在整个圆周上平均分布。 **程序解如下** ``` /// 生成圆弧上的点 pub fn generate_points(&self, num_points: usize) -> Vec { let mut points = Vec::with_capacity(num_points); for i in 0..num_points { let theta_increment = self.theta / (num_points as f64 - 1.0); let current_theta = i as f64 * theta_increment; let x = self.radius * current_theta.cos(); let y = self.radius * current_theta.sin(); points.push(Point { x, y }); } points } ``` ## 切线方程 求解圆弧的切线通常需要考虑切线的斜率和过切点的圆的切线方程。 1. **计算切线的斜率：** 圆弧上的切线斜率等于圆弧在该点的导数。对于极坐标方程 $$x = r \cos(\theta)$$ 和 $$y = r \sin(\theta)$$，求导并计算导数在特定角度 $$\theta$$ 处的值。 如果你知道切线经过的圆弧上的点，可以使用该点的坐标计算切线斜率。对于点 $$(x, y)$$，切线的斜率等于 $$\frac{dy}{dx}$$。 2. **切线方程：** 切线方程可以使用点斜式或一般式表示。使用点斜式时，切线方程为： $$ y - y_1 = m(x - x_1) $$ 其中，$$(x_1, y_1)$$ 是切线上的已知点，$$m$$ 是切线的斜率。 使用一般式时，切线方程为： $$ Ax + By = C $$ 这里的 $$A$$、$$B$$ 和 $$C$$ 是与切线方向和位置相关的常数。 3. **过切点的圆的切线方程：** 圆弧上的切线也是过圆心的半径。因此，切线方程还可以通过圆的半径和切点的坐标得到。设切点坐标为 $$(x_0, y_0)$$，圆心坐标为 $$(h, k)$$，圆的半径为 $$r$$，切线方程为： $$ (x - h)(x_0 - h) + (y - k)(y_0 - k) = r^2 $$ **程序解如下** ``` #[derive(Debug)] pub struct Tangent { pub A: f64, pub B: f64, pub C: f64, } #[derive(Debug, PartialEq)] struct Arc { radius: f64, theta: f64, // 中心角，以弧度表示 } impl Arc { // 计算圆弧上一点的坐标 pub fn point_on_arc(&self, angle: f64) -> (f64, f64) { let x = self.radius * angle.cos(); let y = self.radius * angle.sin(); (x, y) } // 计算圆弧上的切线方程 fn tangent_at_point(&self, angle: f64) -> Tangent { // 计算两个相邻点的坐标 let (x1, y1) = self.point_on_arc(angle); let epsilon = 1e-8; let (x2, y2) = self.point_on_arc(angle + epsilon); // 计算切线方程的一般式表示 let a = y2 - y1; let b = x1 - x2; let c = x2 * y1 - x1 * y2; Tangent { A: a, B: b, C: c } } } ``` ## 法线方程 法线是与切线垂直的线。在数学上，法线方程表示的是与曲线（比如圆弧）的切线垂直的直线。法线方程通常可以通过切线方程的斜率来求解。 对于给定的切线方程 $$\text{Tangent}$$（用一般式表示为 $$Ax + By = C$$），法线的斜率可以通过切线的斜率的负倒数得到。这是因为两条垂直线的斜率乘积为 -1。 法线的一般式表示为 $$Ax + By = C'$$，其中 $$A$$、$$B$$ 和 $$C'$$ 是法线的常数，可以通过给定点的坐标来确定。 具体的步骤如下： 1. **计算切线的斜率 $$m$$：** 切线方程 $$\text{Tangent}$$ 的斜率 $$m$$ 是 $$-\frac{A}{B}$$。 2. **计算法线的斜率 $$m'$$：** 法线的斜率 $$m'$$ 是切线斜率 $$m$$ 的负倒数，即 $$m' = \frac{B}{A}$$。 3. **通过给定点计算法线方程的常数 $$C'$$：** 使用法线的斜率 $$m'$$ 和给定点的坐标 $$(x_0, y_0)$$，可以得到法线方程的一般式： $$ Ax + By = C' $$ **程序解如下** ``` // 计算法线方程 pub fn normal_at_point(&self, angle: f64) -> LinearEquation { // 计算切线方程的斜率 let tangent_slope = -(self.radius * self.theta.sin()) / (self.radius * self.theta.cos()); // 计算法线斜率 let normal_slope = -1.0 / tangent_slope; // 计算法线方程的常数 let (x0, y0) = self.point_on_arc(angle); let normal_constant = y0 - normal_slope * x0; LinearEquation { A: normal_slope, B: -1.0, C: normal_constant, } } ```